Des outils pour compter et situations problèmes au cycle 2

Utiliser et construire des outils pour compter au cycle 2

1/ Point théorique sur le nombre

Quels sont les domaines à travailler pour maîtriser le nombre ?

Deux grands domaines :

les aspects du nombre

le cardinal : correspond au nombre d'une collection donnée
l'ordinal : suite des nombres, ordre et comparaison
l'aspect opératoire qui permet d'anticiper un résultat
l'aspect système : notre système est dit de base 10 car il fonctionne par regroupement de 10. Il utilise aussi un principe de position, la place du chiffre dans le nombre indique sa valeur, le zéro indique l'absence de groupement d'un ordre donné. On dispose d'un alphabet fini de 10 chiffres pour exprimer une infinité de nombres.

La désignation du nombre

La désignation orale : il s'agit des mots nombres qui sont appris par le biais de l'algorithme numérique oral et de ses propriétés. Les premiers nombres mémorisés n'ont pas de liens entre eux. Les mots nombres présentent des régularités de 17 à 69 et des zones à risques de 11 à 16 et de 70 à 99. De nombreux mots nombres sont construits sur le mode additif (31 ), d'autres sur le mode multiplicatif (84), des mots sont à accepter comme 20,cent,mille, d'autres présentent des ressemblances comme 102 et 200 avec des liens opératoires différents. On dispose de 23 mots pour composer les nombres de 0 à 999.

En terme d'apprentissage : les mots jusqu'à 20 sont donc à mémoriser, ensuite la connaissance des dizaines permet de construire la suite jusqu'à 69.
la désignation littérale: elle est liée à la désignation orale des nombres et souffre des mêmes irrégularités + apprentissage du code orthographique
la désignation écrite: on dispose de 10 chiffres pour écrire une multitude de nombres. Chaque chiffre à une valeur différente selon la place qu'il occupe dans le nombre. On peut prétendre maîtriser l'écriture chiffrée quand on est capable d'écrire le nombre qui précède, celui qui suit et de passer de la désignation orale à la désignation écrite et réciproquement.

Les difficultés des élèves

Quand on analyse les résultats aux évaluations nationales on observe une faiblesse dans la connaissance du système numérique et la maîtrise du calcul mental.

Les élèves rencontrent des difficultés particulières dans le passage de la désignation orale à la désignation écrite du fait des irrégularités rencontrées à l'oral dont ne souffre pas la désignation écrite qui ne présente aucune exception. Le système décimal est difficile à appréhender avec la place du 0, le groupement par 10 et le système d'échange.

Sur le plan du calcul, il semblerait que la difficulté soit liée à la méconnaissance des relations entre les nombres: compléments à 10, recours à la décomposition additive ex pour calculer 8+5 il est nécessaire de savoir que 8 c'est 5+3 on peut alors procéder en 5+5+3

L'apprentissage des nombres à l'école se fait dans deux directions

On appréhende le nombre comme objet d'apprentissage et on construit le sens du recours au nombre qui devient outil.

un apprentissage en étape :

- le premier apprentissage du nombre se fait par des mots isolés : il y a 4 enfants , 3 crayons ...

Puis les mots s'ordonnent : comptine numérique, comptage de 1 en 1 , à partir de 1 d'un autre nombre, en décomptant ...

Les enfants appréhendent le nombre par sa désignation orale à travers l'apprentissage de la comptine numérique. Il est nécessaire en premier lieu d'apprendre à réciter la suite des nombres, c'est à dire à nommer les nombres dans un ordre précis. Cet apprentissage est incontournable, point de départ pour appréhender la notion de cardinal et d'ordinal. La notion de cardinal n'est cependant acquise que lorsque les élèves savent associer le dernier nombre énoncé à la quantité pour la garder en mémoire. Un enfant peut très bien connaître la suite des mots nombres jusqu'à 5 et ne pas savoir dire qu'il a devant lui 5 gâteaux.

- la suite écrite avec la bande numérique qui permet de garder une mémoire du nombre.

- les écritures chiffrées.

- l'algorithme de l'écriture : être capable d'écrire une suite de nombres sans savoir la lire forcément.

- le groupement par 10 afin de comprendre qu'un chiffre n'a pas la même valeur selon sa place dans le nombre .

Donner du sens au nombre ( le nombre outil)

Dès les premières approches des nombres il est nécessaire que les enfants construisent du sens autour de l'utilisation de ces nombres. Le nombre n'est pas qu'un objet d'apprentissage mais aussi un outil pour maîtriser certains aspects du réel.

En GS les situations qui permettent de construire du sens autour du nombre:

- le nombre comme mémoire de la quantité

ex: aller chercher autant de verres qu'il y a de poupées à tables ...

le nombre comme mémoire du rang ---> ex: se rappeler de la place d'un objet dans une liste

le nombre comme possibilité d'anticiper des résultats dans le cadre de situations évoquées ou réalisées --> les élèves utiliseront alors des procédures de comptage ou de calcul.

Les domaines des nombres sont importants aussi dans la construction des procédures utilisées. On distingue 4 grands domaines de nombres :

le domaine des nombres visualisables, nombre visualisable globalement jusqu'à 4 et 5 domaine privilégié pour le comptage mental permet aux enfants de comprendre le pouvoir d'anticipation et passer du comptage au calcul mental
le domaine des nombres familiers jusqu'à 12 ...19 selon les enfants, l'usage social de ces nombres est fréquent. Dès la GS les élèves peuvent reconnaître globalement l'écriture chiffrée et mettre en oeuvre des procédures de calcul.
le domaine des nombres fréquentés jusqu'à 30: occasion de travailler sur les régularités de l'écriture des nombres.
le domaine des grands nombres : c'est là que les procédés de dénombrement ou d'écriture liés à la numération écrite ( groupement,échanges,compteurs) prendront tout leur intérêt et donc leur sens. Ici ce sont les désignations écrites qui seront utilisées

Les compétences à développer/ matériel médiateur /outils ( définition)

Les compétences à développer au cycle 2

dénombrer ou réaliser une quantité en utilisant le comptage de 1 en 1 ou en utilisant les procédés de groupement et d'échanges

comprendre et déterminer la valeur des chiffres en fonction de leur position

produire des suites orales et écritures de 1 en 1 , 10 en 10 ... à partir de n'importe quel nombre

associer désignation orale et écrite

comparer, encadrer,situer,ordonner ...

Afin d'aider les élèves à structurer les connaissances ou à les construire on a recours à des outils ou du matériel médiateur.

les affichages collectifs , mémoire du travail de la classe, utilisés pour les mises en commun.
Les outils individuels : la suite écrite des nombres, bande numérique, écriture littérale, tableau des nombres .... qui ont pour but d'être mémorisés pour certains ou d'être utilisés selon les besoins ( permet une différenciation)
le matériel médiateur : pour apprendre ou étayer – abaques, compteurs, allumettes , jetons ...
les jeux : loto, dominos, jeux de société

quel matériel à l'école ?

- les comptines : pour apprendre les nombres dans l'ordre

- Les doigts : pour dénombrer, calculer, réciter la suite des nombres--> outil transitoire

- les dés : pour apprendre à repérer visuellement de petites quantités de par la position des points qui est mémorisée, pour calculer sur de petites sommes avec deux dés

la bande numérique : outil pour apprendre à lire ou écrire des nombres dont on ne connait pas encore l'écriture chiffrée, se construire une image mentale de cette suite, de son organisation, de ses régularités
le tableau des nombres pour visualiser les régularités de l'écriture des nombres
la spirale
les compteurs

pour la base 10 on utilise progressivement différents matériels qui permettent de passer à un niveau d'abstraction supplémentaires

le petit matériel : allumettes, bûchettes favorable pour le travail sur les groupements par 10 car conservation de l'unité qui reste présente, c'est l'élastique qui indique la dizaine
le matériel multi base : pour travailler sur les échanges-10 cubes s'échangent par 1 barre, les uns restent visibles
les abaques pour exprimer un nombre : pose le problème du sens de l'écriture des nombres. La lecture se fait en fonction de la place des jetons sur l'abaque

On peut avoir recours aux situations ludiques ou aux jeux pour l'entraînement des compétences. C'est bien sûr un outil pédagogique efficace. Distinguons situations ludiques et jeux. La situation ludique proposera une activité à l'aspect récréatif comme les coloriages magiques, les nombres croisés ... qui sont des activités individuelles, des jeux dont les caractéristiques sont spécifiques:

temps de fiction qui permet prise de distance et détente.
Temps de socialisation , le jeu offre la possibilité d'entrer en relation avec les autres : un jeu se joue à plusieurs
Il crée de la compétition : il a un but et constitue un enjeu- on peut jouer contre quelqu'un , avec quelqu'un ou seul en vue d'obtenir une réussite ( ex passer niveau sup )
il y a une règle : le jeu est organisé et repose sur des conventions.

Dans le jeu il y a une volonté de se surpasser que l'on ne retrouve pas dans d'autres situations. L'enfant est un être qui joue par essence. C'est donc pertinent de s'appuyer sur cette dimension psychologique pour lui permettre d'améliorer ses compétences. Bien sûr le jeu est un moyen pédagogique pas l'unique moyen.

LES JEUX POUR COMPTER AU CYCLE 2

Dans cette animation, les enseignants ont ensuite joué à différents jeux afin de réfléchir aux variables des différentes règles possibles. Les jeux abordés doivent être constitués par l'enseignant ou avec la classe. Il s'agit de découper des feuilles, de coller sur un support un peu rigide et de plastifier pour garantir une bonne durée de vie. La découpe des cartes a lieu après.

DESCRIPTIF DES SORTES DE JEUX : Un CD est disponible à l’inspection pour plus de détails.

1 Jeu des cartes retournées (pour jouer au mémory)

2 Jeux de bataille

2.1 Bataille à 2 dés

4 à 6 dés à constellations ou numériques (2 par enfant), une boîte de 20 jetons.

3 Bataille de dominos

3.1 Matériel

Une boîte de 28 dominos à constellations ou numériques, une boite de 20 jetons. Voir dominos des autres jeux de dominos

4 Bataille de cartes

4.1 Bataille « classique »

Un jeu de 52 cartes dont on a retiré les figures (chaque enfant a la moitié du jeu), une boîte de 20 jetons.

5 Bataille « moins classique »

5.1 Sommes inférieures à 10

5.2 Sommes inférieures à 20

5.3 Somme faisant intervenir des dizaines

5.4 Différences inférieures à 10

5.5 Différences inférieures à 20

5.6 Différences faisant intervenir des dizaines

5.7 Autres sommes et différences

5.8 Autres jeux de cartes

Total (Cycle 2) : avec un jeu de cartes. 2 joueurs. On conserve les cartes de 1 à 10. Chaque joueur reçoit 10 cartes. Le reste est au talon, dos en l’air. Un joueur tire 2 cartes du talon. L’autre doit abattre le même nombre avec un ou 2 cartes. S’il ne peut pas jouer, il passe. Le vainqueur est celui qui s’est débarrassé de toutes ses cartes.

5.9 Jeu de l’Oie (cycle 2)

Deux joueurs ou davantage. On conserve les cartes de 1 à 7 noires. De 3 à 10 rouges. Les cartes sont en pile, dos en l’air (placer les deux 10 rouges en haut de la pile). Chaque joueur tire une carte et augmente du nombre tiré si la carte est rouge ou diminue du nombre tiré si la carte est noire. Énoncer le score à chaque étape. Le jeu s’arrête quand la pile est épuisée.

6. Coloriage

Puzzle à colorier : jeu individuel

Un puzzle dessiné (figuratif ou géométrique) est fourni à l'enfant avec une règle de coloriage (voir page suivante).

Sur les pièces du puzzle, sont placées des sommes et/ou des différences. Une couleur correspond à chaque résultat ou chaque groupe de résultats. L'activité consiste à colorier les pièces d'un réseau en respectant une règle de coloriage.

Patchwork : L'activité consiste à colorier une grille en respectant une règle de coloriage. Cette règle utilise le résultat des écritures inscrites sur les cases.

Labynombre : L'activité consiste à trouver un chemin d'un départ à une arrivée sur une grille en respectant une règle qui correspond à un objectif mathématique (par exemple complément à 10) . Les déplacements se font d'une case à une case adjacente ; on traverse par un côté, jamais par un sommet.

7 Loto additif

Matériel : Des cartes à 16 cases sur lesquelles 8 nombres sont marqués: deux nombres inférieurs à 4 dans la première colonne, deux nombres parmi 5, 6, 7, 8, 9 dans la deuxième colonne, deux nombres parmi 10, 11, 12, 13, 14 dans la troisième colonne, deux nombres parmi 15, 16, 17, 18, 19 dans la quatrième colonne. Chaque nombre est présent sur au moins deux cartes.

Des petits cartons sur lesquels figurent les sommes de 0 + 1 à 10 + 9 en nombre suffisant pour que toutes les cartes puissent être remplies.

Règle du jeu : Le meneur tire les cartons et lit la somme. Les joueurs effectuent la somme et doivent lever la main si le total figure sur l'une de leurs cartes de jeu. Le joueur qui lève le premier la main prend le carton et le pose sur sa carte. Le joueur qui a rempli ses cartes le premier a gagné.

8 Jeux de mariage

Matériel : Un jeu de 32 cartes constitué de la manière suivante : choix de 8 nombres et de 4 de leurs désignations (ou de 16 nombres et de 2 désignations de chaque nombre).

Exemple de jeu :

Nombres désignations

11 10 + 1, 5 + 6, 7 + 4, 3 + 8

13 10 + 3, 7 + 6, 4 + 9, 8 + 5

14 10 + 4, 7 + 7, 9 + 5, 6 + 8

15 15, 8 + 7, 9 + 6, 6 + 9

16 16, 8 + 8, 12 + 4, 9 + 7

20 10 + 10, 11 + 9, 15 + 5, 8 + 12

9 dominos additifs

9.1 Dominos faisant intervenir des constellations et des écritures numériques canoniques

9.2 Sommes inférieures à 10

9.3 Sommes inférieures à 20

9.4 Sommes faisant intervenir des dizaines

9.5 Différences inférieures à 10

9.6 Différences inférieures à 20

9.7 Différences faisant intervenir des dizaines

9.8 Autres sommes et différences

10 Compléments à 10, 20, 100

10.1 Modalités

Exemple pour « faire 100 »

10.1.1 Règle de jeu:

Chaque joueur prend 5 pièces et les étale devant lui

Les pièces restantes forment un talon

Le 1er joueur place une de ses pièces, nombres visibles, il reprend une pièce (chaque joueur doit toujours avoir 5 pièces devant lui.

Le joueur suivant doit placer une pièce contre un côté de la pièce déjà placée afin que la somme des 2 nombres unis face à face soit 100, s’il ne peut jouer, il passe, s'il joue, il reprend une pièce et ainsi de suite ...

La partie est finie quand un joueur n’a plus de pièces.

10.1.2 Marque de points

Si un joueur place 1 pièce qui voisine par 1 face, il marque 1 pt.

Si un joueur place 1 pièce qui voisine par 2 faces, il marque 3 pts.

Si un joueur place 1 pièce qui voisine par 3 faces, il marque 5 pts.

Variantes : « faire 10 », « faire 20 », …

Tous ces jeux avec leurs modèles et des exemples sont disponibles à l’inspection sous forme numérique. Le fichier étant très volumineux ne peut être envoyé. Demander un cd à dominique.lefebvre3@ac-creteil.fr

2ème séance: Proposer des situations problèmes au cycle 2

Les situations problèmes

1/ La place des problèmes dans l'enseignement des mathématiques et construction des connaissances

La résolution de problèmes constitue le critère principal de la maîtrise des connaissances dans tous les domaines de mathématiques. Les activités numériques, de calcul ou géométriques doivent être conçus comme des outils au service de la résolution de problèmes avant d'être objets d'apprentissage. C'est lors de leur utilisation comme moyens , outils dans le cadre de résolution de problèmes que les élèves doivent percevoir la nécessité d'approfondir leurs connaissances de ces outils.

Les situations choisies doivent être pertinentes :

dans une situation de type « je montre 5 cubes rouges et 3 cubes bleus, combien y a t il de cubes? » , l'élève compte les cubes , le problème n'est pas reconnu comme additif par l'élève. Le choix des nombres est important, on aura recours à des quantités plus importantes.

Il est nécessaire de varier les entrées pour une même connaissance à construire et de ne pas cantonner les élèves dans des structures rigides.

Par exemple concernant les problèmes relevant de l'addition ne pas présenter que des problèmes dont les termes induisent une addition : combien en tout.

Exemple de situation : « Cette enveloppe contient maintenant 7 images, on en a retiré 3 : combien contenait-elle d'images avant ? »

2/ Qu'est-ce qu'un problème : proposer une situation authentique, mettre en oeuvre une démarche spécifique,

C'est une situation qui crée les conditions d'une réelle activité intellectuelle chez l'élève. Ainsi il est nécessaire de ne pas créer chez les élèves une association directe entre situations nouvellement étudiées et réinvestissement direct dans un problème, ou relevé systématique de mots inducteurs. Conséquence les élèves associent problème à + ou - (très nettement perçu dans les évaluations ce2)

Démarche à développer :

faire des hypothèses et les tester

élaborer une démarche pertinente afin d'élaborer une solution personnelle

vérifier par soi même les résultats

formuler une réponse

Expliquer sa méthode, argumenter et confronter

3/ Typologie des problèmes et objectifs poursuivis

Ainsi il existe 4 catégories de problèmes à mettre en place qui poursuivent des objectifs différents

situation problème pour découvrir une notion, acquérir un savoir nouveau

Problèmes de recherche pour explorer différents types de résolution

Problèmes d'entraînement pour mémoriser des procédures expertes

Problèmes de réinvestissement pour permettre d'effectuer des choix de procédures adaptées

(voir tableau annexe « typologie des situations problèmes »)

4/ Tris de problèmes

Au cours de l'animation, les collègues sont invités à découvrir des situations problèmes prises dans divers manuels et à les classer suivant la typologie ci dessus et l'utilisation que pourrait en faire l'enseignant. La même situation problème peut servir à atteindre des objectifs différents.

5/ Situation des moutons

Une situation de réflexion est ensuite proposée aux enseignants pour leur classe:

Dans un pays les bergers ne sachant compter que jusqu'à quatre doivent parler pour communiquer leur nombre de moutons, Ils ont à leur disposition un nombre de bâtonnets représentant leur troupeau de moutons qu'ils peuvent grouper , ranger comme ils veulent.

Dans un deuxième temps, les bergers ne peuvent plus parler mais ils ne savent que dessiner.

Dans un troisième temps ils ont à leur disposition un code « magique » 1, 2, 3, 4 pour désigner de un à quatre choses. Ils doivent l'utiliser pour communiquer leur nombre de moutons.

Dans un quatrième temps on introduira par nécessité le chiffre « 0 ».

Enfin on introduira un nouveau code qui permet de compter jusqu'à dix: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et le « 0 ».

Cette situation doit être vécue en groupe, On organisera progressivement la communication et la confrontation des solutions proposées (CP, CE).

Le but est de permettre aux élèves de mieux comprendre la numération décimale.

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